Hallo,
nachdem Hinweis von Delphi-Laie unter www.entwickler-ecke....ewtopic.php?t=111224 auf "Gleichdicke" bzw. Reuleaux-Räder habe ich es nun doch noch hinbekommen.
Ganz glücklich bin ich noch nicht, da es mir irgendwie noch nicht gelingt, von links korrekt einrollen zu lassen. Wird aber noch.

Das Programm stellt ein Gebilde mit zwei Reuleaux-Rädern dar, das über eine Strecke rollen kann.
Wie man sieht, bewegt sich der Querbalken immmer hoch und runter, d.h. als Auto wäre dies wohl nicht geeignet.
Interessant ist, das die Gleichdicken tatsächlich zwischen zwei parallelen Strecken Platz haben. Schaltet man den oberen Rand zu, erkennt man dies.

So, jetzt ist mein Schädel irgendwie "leer". Ich brauche erst einmal eine Pause.

Beste Grüße
Mathematiker

Nachtrag: Es gibt außer Reuleaux-Dreiecken auch Reuleaux-Tetraeder. Das wäre eine "kleine" Aufgabe für alle, die OpenGL können. Ich bin da (zum Glück) nicht geeignet.

Rev 1: das Ein- und Ausrollen erfolgt besser.
Rev 2: für den Schwerpunkt eines der Räder kann eine Spur gezeichnet werden.
Rev 3: wahlweise auch mit Reuleaux-Fünfeck statt -Dreieck.
Rev 4: Fehler bei Geschwindigkeit 1 entfernt. Zusätzlich jetzt mit einem Querbalken über den Rädern.
Rev 5: Nach dem korrekten Hinweis von Delphi-Laie, dass der obere Querbalken physikalischer Quatsch ist, habe ich ihn wieder entfernt.

Ergänzung: In einem Beitrag weiter unten befindet sich ein Beispielprogramm für die Anwendung eines solchen Reuleaux-Dreiecks. Auf Anregung von Horst_H versuche ich eine Wankelmotorscheibe darzustellen.

Großartig!

Bei Dir vergehen nur wenige Stunden von einer Anregung bis zum fertigen Programm. Auch wenn Du sicher immer wieder letztlich dieselben graphischen Umsetzungsideen verwenden dürftest, die dahinterstehende Mathematik ist nicht die gleiche. Auf solch eine Produktivität bin ich neidisch.

Daß diese netten Räder eine französische Bezeichnung haben, ist mir neu. Nicht neu hingegen ist mir, daß ihr Abrollen nicht energieneutral erfolgt, das ist auch gut zu sehen.

Noch eine klitzekleine Anregung: Könnte mit einer kleinen feinen zusätzlichen Linie an der Oberseite angedeutet werden, daß der Durchmesser (dann auch vertikaler Sicht) stets konstant ist? Gerade das ist ja die hervorstechende Eigenschaft der sog. Gleichdicken.

Und noch eine Anregung: Den Kurvenverlauf des / der Schwerpunkt(e) als Linie darstellen?

Hallo Delphi-Laie,

Delphi-Laie hat folgendes geschrieben :

Daß diese netten Räder eine französische Bezeichnung haben, ist mir neu.

Franz Reuleaux war streng genommen ein deutscher Ingenieur. Im deutschsprachigen Raum werden die Gleichdicken, die er als erster intensiv untersuchte, allerdings kaum nach ihm benannt.

Delphi-Laie hat folgendes geschrieben :

Noch eine klitzekleine Anregung: Könnte mit einer kleinen feinen zusätzlichen Linie an der Oberseite angedeutet werden, daß der Durchmesser (dann auch vertikaler Sicht) stets konstant ist?

Dürfte eigentlich schon vorhanden sein. Markierungsfeld "oberer Rand" zeigt eine solche Linie.

Delphi-Laie hat folgendes geschrieben :

Und noch eine Anregung: Den Kurvenverlauf des / der Schwerpunkt(e) als Linie darstellen?

Kein Problem. Wird gemacht.

Beste Grüße
Mathematiker

Nachtrag: Ist schon gemacht, siehe Revision 2.

Also Steffen, das mit dem "Schädel leer" glaub ich eher nciht. Du hast sicher das eine oder andere Projekt im Auge/Gehirn. Aber auf jeden Fall ist zu erwähnen, dass Du sehr schön gewisse physikalische/mathematische Konzepte präsentieren kannst. Ich denke da an unsere Physik-Ausstellung "Phänomenta" in Lüdenscheid., Da wären sicher die einen oder anderen Phänomene in Bezug auf Abwicklung von Objekten auf Flächen ganz interessant. Vielleicht stellst Du mal ein paar Deiner Arbeiten dort vor.

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Wie geschrieben, ist nur ein Vorschlag. Man könnte die Abwicklungen verschiedener Körper im Experiment zeigen und dann auch das Ganze auf dem PC spielerisch darstellen, wobie man dann gemäß Deiner Programme Parameter variieren könnte. Passt sicher in die Ausstellung.

Wünsche Dir noch einen schönen Restsonntag.
Gruß
Gunther

Hallo,
ich habe noch eine größere Änderung vorgenommen.

Wahlweise zeichnet das Programm jetzt auch Gleichdicke mit 5 Ecken (Reuleaux-Fünfeck) statt die bisherigen Dreiecke.
Theoretisch ist jede ungerade Eckenzahl > 2 möglich, allerdings werden die Gleichdicken dann immer kreisähnlicher.
Damit das Beschriebene funktioniert, habe ich die ganze Routine überarbeitet. Insbesondere werden die Punkte des Gleichdicks jetzt anders berechnet.

Beste Grüße
Mathematiker

Jetzt noch eine Frage, die das Programm nicht sicher beantworten kann: Gehorcht der Verlauf der Schwerpunkte (echte Rotationsmittelpunkte sind es ja nicht unbedingt) einer Winkel-/trigonometrischen/goniometrischen Funktion ((co)sinus)?

Jede periodische Funktion kann durch eine Fourierreihe beliebig genau aus Sinus und Cosinus angenähert werden.

FinnO hat folgendes geschrieben :

Jede periodische Funktion kann durch eine Fourierreihe beliebig genau aus Sinus und Cosinus angenähert werden.

Das weiß ich, das ist aber nicht die Antwort auf meine Frage. Diese Fourierreihen werden aus Summen solcher Funktionen gebildet. Ist jedoch nur eine dieser Funktionen als Grundlage für die Punktbahn ausreichend?

Hallo Delphi-Laie,

Delphi-Laie hat folgendes geschrieben :

Ist jedoch nur eine dieser Funktionen als Grundlage für die Punktbahn ausreichend?

Nein, ist es nicht.
Unter jones.math.unibas.ch...euleaux/Reuleaux.pdf führt Hans Walser aus, dass die Kurve sich aus Kreisbögen und Zykloidenstücken zusammensetzt.
Rollt das Reuleaux-Polygon über einen Eckpunkt ab, entstehen Kreisbögen, rollt es über die Kreispunkte ab, Zykloidenteile.

Ich habe noch eine kleine Änderung durchgeführt.
Über den Rädern kann man nun noch einen Balken zeichnen lassen. Dadurch sieht man (meiner Meinung nach) noch deutlicher, dass die Räder gleichdicke Gebilde sind.

Außerdem gab es einen Fehler bei Geschwindigkeit = 1. Entschuldigung.
Den Fehler habe ich beseitigt.

Beste Grüße
Mathematiker

Hallo,

Vielleicht wäre es mal interessant zu wissen, wo man so etwas braucht.
Gleichdicke haben eine "bessere" Spannungsverteilung, sprich geringere Kerbwirkung, als konventionelle Welle-Nabe Verbindung zur Drehmomentübertragung
www.polygona.ch/Polygon/P3G.htm.

Zur Steigerung der Bewegungskomplexität fehlt jetzt nur noch die Ablaufsimulation einer Wankelmotorscheibe.
www.der-wankelmotor....tor/wankelmotor.html
www.der-wankelmotor....ik_berechnungen.html
{ Was war der Ro80 ein tolles Auto cw = 0,38 { Sonst wäre der Verbrauch noch höher gewesen }}

Gruß Horst

Hallo Horst_H,

Horst_H hat folgendes geschrieben :

Zur Steigerung der Bewegungskomplexität fehlt jetzt nur noch die Ablaufsimulation einer Wankelmotorscheibe.

Dein Wunsch wird natürlich erfüllt.

Das angehängte kleine Programm zeichnet im Moment zwei Zahnräder die ineinander ablaufen. Am äußeren ist ein Reuleaux-Dreieck befestigt, dass sich ebenfalls mitdreht.
Damit simuliert das Programm die Drehung einer Wankelmotorscheibe.
Ganz glücklich bin ich noch nicht, da ich noch keine Idee habe, wie ich die Kurve des Wankelmotorinnenraums ermittle. Es wäre ja schön, wenn man sehen könnte, wie die drei Kammern während der Drehung ihre Größe verändern.

Beste Grüße
Mathematiker

Rev 1/2: Jetzt wird auch der Motorraum korrekt dargestellt.
Rev 3: Mit der Idee von Tranx wird der Motorraum nun am Anfang berechnet und dann nur angepasst.
Rev 4: Zusätzlich mit dem innen laufenden Rad.

Hallo Mathematiker,

Finde deine Ideen sehr gut.
Wie man die Kurve des Wankelmotorinnenraums exakt berechnet weiß ich nicht, aber ich kann eine Idee anbieten:
Der Bahnverlauf eines Eckpunktes (als Beispiel) der Wankelscheibe müsste doch den Innenraum des Motors "abfahren". (Nur mal so als Schnellschuss vorm Mittag)

MFG,
Tilo

Hallo,

eine Epitrochoide schreibst Du doch in der 5 Minuten Pause, Kreis rollt auf Kreis ab.
OK , das Wissen ist nur geliehen: de.wikipedia.org/wik...ankelmotor#Geometrie
Aber wäre nicht einfach ein Linienzeichnen der Bahn der Eckpunkte während einer Umdrehung möglich?

Oh, Tilo war schneller

Gruß Horst

Hallo Mathematiker!

Für den "Balken oben" kann ich mich nicht so recht erwärmen, denn ein Informationszuwachs gegenüber der "Linie oben" erschließt sich für mich nicht. Außerdem ist es physikalisch unmöglich, denn die Haft-/(Ab)Rollreibung wird unterschlagen. Tatsächlich würde sich der "Balken oben" ja auch vorwärtsbewegen, und da wären wir schon bei der nächsten Fragestellung: Doppelt so schnell wie die Schwerpunkte? Die Intuition legt das nahe, aber die ist im Bereich der Mathematik kein zuverlässiger Ratgeber.

Hallo,

Tilo hat folgendes geschrieben :

Der Bahnverlauf eines Eckpunktes (als Beispiel) der Wankelscheibe müsste doch den Innenraum des Motors "abfahren".

Horst_H hat folgendes geschrieben :

eine Epitrochoide schreibst Du doch in der 5 Minuten Pause, Kreis rollt auf Kreis ab. ... Aber wäre nicht einfach ein Linienzeichnen der Bahn der Eckpunkte während einer Umdrehung möglich?

Danke für die Hinweise.
Ich habe es schon mit der konvexen Hülle der Punkte versucht, die Linie eines Eckpunktes gezeichnet, ebenso eine Epitrochoide ...
Stets blieb entweder etwas Platz zwischen einem Endpunkt und dem Rand oder er war zu weit draußen.

Ich vermute, die Ursache liegt woanders. Im Wikipedia-Text steht

Zitat:

Die Kontur des Kreiskolbens besteht aus drei abgeflachten Kreisbögen und sieht wie ein bauchiges Dreieck aus, ähnlich einem Reuleaux-Dreieck.

Und das "ähnlich" macht mir Sorgen. Da anschließend noch von einem elliptischen Integral die Rede ist, werde ich sofort vorsichtig.
Ich denke, mein Reuleaux-Dreieck ist ungeeignet. Wahrscheinlich weicht beim Wankelmotor die Form der Scheibe doch vom Reuleaux-Dreieck ab und das zeigt sich bei meinem Darstellungsversuch.
Ich werde weiter grübeln.

Delphi-Laie hat folgendes geschrieben :

Für den "Balken oben" kann ich mich nicht so recht erwärmen, ... Außerdem ist es physikalisch unmöglich, denn die Haft-/(Ab)Rollreibung wird unterschlagen.

Du hast ja Recht. Mal sehen, ich werden ihn wohl wieder entfernen.

Beste Grüße
Mathematiker

Ich muß mich korrigieren: Der obere Balken muß die doppelte Geschwindigkeit bzw. die Gleichdicke die halbe Geschwindigkeit haben, ganz einfach wegen der Symmetrie: Weder die obere noch die untere "Hälfte" haben irgendein Merkmal, das sie zu bevorzugen begründen könnte.

Hallo,
meine Vermutung war richtig. Die Scheibe im Wankelmotor weicht etwas vom Reuleaux-Dreieck ab. Die auftretende Exzentrizität, abhängig von den Radien der Zahnräder, flacht die Kreisbögen etwas ab.

Damit habe ich jetzt auch die Form des Motorraums korrekt. Ich gestehe, dass ich ein bisschen stolz bin.
Als Nächstes muss ich mir noch ein paar Gedanken machen, wie die Grafik schöner werden könnte.

Beste Grüße
Mathematiker

Soweit ich das sehen kann, sind die Kurven sowohl für den Wankelkörper als auch den Motorraum gegeben. Dann wäre es "nur" eine Frage der Integralbildung und Differenz zweier Integrale zwischen den beiden Berührungspunkten des Wankelkörpers mit der Hülle.

Du kannst auch incrementell die "Hüllkurve" des Teilraumes abfahren, indem du von einem Brührungspunkt des Wankelkörpers ausgehend einen Weg dx nach rechts oder links bis zum nächsten Brührungspunkt (entlang der Motorhüllkurve) gehst, dann weiter auf dem Wankelkörper wanderst und wieder zurück zum ersten Berührungspunkt des Wankelkörpers mit der Motorhüllkurve gehst und dabei jedes der Flächensegmente wie folgt summierst:


Weg von X1 nach X2 mit Punkten Y1 und Y2
i+1
F = ∑[(X(i)-X(i+1))*(Y(i)+Y(i+1))/2]
1

Die X- bzw. Y-Koordinaten kann man aus einem Zentralwinkel berechnen, dann ist das Incrementieren sicher einfacher. Dazu habe ich schon eine Idee, wie man unnötige Rechenoperationen vermeiden könnte. Eine Genauigkeit im Winkel von 0.1 Grad sollte für die Berechnung ausreichen. Da sich ja die Hüllkurve des Motors während der Simulation nicht ändert, wäre es sinnvoll, am Anfang des Programms einen Punkte-Array von 3600 Punkten mit dem Koordinatenpunkten mit einem Winkelincrement 0,1 Grad von 0 .. 360 Grad zu belegen. Dies könnte auch sinnvollerweise normiert geschehen, also auf die Größe 1 bezogen, so dass bei einer Größenänderung nur noch die Koordinaten mit der neuen Größe multipliziert werden müssten. Dann wäre es auch noch sinnvoll, bis ein Druchgang des Wankelmotors abgeschlossen ist, die Berechnungswerte der drei Motorräume ebenfalls in einem Array zu speichern und nachher nur noch diese Werte abzurufen. Denn die Kurven werden ja zyklisch verlaufen. Man benötigt demnach 2 Arrays (Hüllkurve und Motorräume (Increment je nach Genauigkeit 0.2, 0.5 oder 1 Grad)). Der Wankelkörper wird sicher nicht so einfach vorbelegt werden können, da er exzentrisch dreht und an sich schon eine nicht so einfache Ortskurve seiner Begrenzungslinie hat.

Wenn ich am Sonntag noch Zeit habe, werde ich mal einen Ansatz starten.

Wie ich mir die Integration denke, am Beispiel eines einfachen Körpers:

Polykörper mit folgenden Eckpunkten:
X Y
1 20 0
2 20 5
3 8 9
4 4 6
5 10 1


F = ((20-20)*2,5) + ((20-*7) + ((8-4)*7,5) + ((4-10)*3,5) + ((10-20)*0,5
F = 0 + 84 + 28 + -21 + -5 = 86

F = ((20-10)*0,5) + ((10-4)*3,5) + ((4-*7,5) + ((8-20)*7) + (20-20)*2,5
F = 5 + 21 + -28 + -84 + 0 = -86

Das zeigt, dass die Richtung zwar entscheidend für das Vorzeichen, jedoch nicht für die Größe der Fläche ist. Bei Wanderung der Berechnung gegen den Uhrzeigersinn wird mit der Differenz (X(i)-X(i+1)) multipliziert, bei Wanderung im Uhrzeigersinn mit (X(i+1)-X(i)). Da jedoch keine negativen Flächen auftreten können, der Motor würde ja uns um die Ohren fliegen, kann man auch nach der Summierung aller Incremente einfach den Absolutwert des Ergebnisses nehmen. Wichtig ist, dass für einen "Rundlauf" der Punkte immer die gleiche Differenz genommen wird (Also immer (X(i)-X(i+1)) oder immer (X(i+1)-X(i))).

So habe ich mir das mit dem "Motorraumvolumen gedacht.

Hallo Tranx,
vielen Dank für die vielen, guten Hinweise.

Tranx hat folgendes geschrieben :

Da sich ja die Hüllkurve des Motors während der Simulation nicht ändert, wäre es sinnvoll, am Anfang des Programms einen Punkte-Array von 3600 Punkten mit dem Koordinatenpunkten mit einem Winkelincrement 0,1 Grad von 0 .. 360 Grad zu belegen.

Von allen Hinweisen habe ich auf die Schnelle (Rev 3) die Idee mit dem Einmalberechnen der Motorhülle umgesetzt. Das spart während der Simulation deutlich Zeit.
Im Moment nutze ich "nur" 1080 Punkte und es sieht so aus, als ob dies für die Genauigkeit genügt.
Ein Integral war nicht notwendig, da ich nur für einen der Eckpunkte die notwendigen 3 Umläufe berechnen muss.

Alles andere werde ich mir genau ansehen. Nochmals vielen Dank.

Beste Grüße
Mathematiker

Hallo,

jetzt mußt Du für die Animationen bald zu OpenGL übergehen.
Denn Rotationen/Skalierungen sind damit ein Kinderspiel.Damit brauchst Du nur einmal die Objekte Zahnrad und Wankelscheibe und die zeichnest Du in die Epitrochoide.
files.delphigl.com/new/dglOpenGL.zip
Demo3 zum Beispiel:
files.delphigl.com/n...tut_opengl2d_vcl.zip
Wenn ich mir das so anschaue, würde mich auch die Geschwindigkeit der Spitze interessieren.Die scheint ja bei 9 und 15 Uhr fast stehen zu bleiben.
Was soll's, der Zug für Wankelmotoren ist wohl lange abgefahren, auch wenn die Erzeugung der Drehbewegung ohne Kolben/Pleuel, bei passablen Drehzahlen gegenüber einer Turbine, eine faszinierende Idee ist.

Gruß Horst