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private Drawing.Color GetMandelColor(Drawing.PointF coordinates)
{
    double x = 0, y = 0;
    int colorId = 0;
            
    while (colorId < _colors.Length - 1 && Math.Sqrt(Math.Pow(x, 2) + Math.Pow(y, 2)) < 2)
    {                
        var newX = Math.Pow(x, 2) - Math.Pow(y, 2) + coordinates.X;
        var newY = x * y * 2 + coordinates.Y;

        x = newX;
        y = newY;

        colorId++;
    }

    return _colors[colorId];
}					

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procedure mandelbrotmenge;
var i,j,anz,b,h:integer; 
    x,y,cx,cy,xneu,yneu:double;
begin
  b:=paintbox1.width; 
  h:=paintbox1.height;
  
  for i:=1 to b do begin
   for j:=1 to h do begin
     cx:=5*i/b-2.5;          //Transformation des Pixels in komplexe Zahl
     cy:=5*j/h-2.5; 
     x:=0; y:=0; 
     anz:=0;
     repeat
       xneu:=x*x-y*y+cx;     //klassisches Apfelmännchen 
       yneu:=2*x*y+cy; 
       x:=xneu; 
       y:=yneu; 
       inc(anz);
     until (x*x+y*y>4) or    //bei Betrag der komplexen Zahl >=2 ist die Divergenz der Folge sicher
           (anz>100);        //Genauigkeit der Berechnung
     paintbox1.canvas.pixels[i,j]:=rgb(2*anz, 2*anz, 2*anz);   //keine schöne Farbwahl
  end end;
end;					

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Für jeden Pixel in deinem Bild:
  Transfomiere den Pixel in eine Komplexe Zahl z
        z = z^2 + z;
  Zähle nach wie vielen Iterationen z noch in der Mandelbrotmenge enthalten ist. 
            Oder breche ab wenn Anzahl der Iterationen > Konstante
  Färbe den Pixel entsprechend der Anzahl der Iterationen.					

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private double Mandelbrot(double value)
{
    var result = 0d;

    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        result = result * result + value;
    }

    return result;
}					

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using System.Numeric;

private int Mandelbrot(Complex<double> value)
{
    var result = value;
    var i = 0;

    while(i < 100 && Complex<double>.Abs(value) < 2)
    {
        result = Complex<double>.Pow(result, 2) + value;
  i++;
    }

    return i;
}					

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// in Pseudocode

// statt
IF (SQRT((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) < R)

// dann
IF ((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 < R^2)
// bzw.
IF ((x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) < R*R)					

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PROCEDURE PaintApple;
VAR radius,a,b,da,db,xf,yf,invers : double;
          i,it,xs,ys : word;
    rowrgb : pbytearray;
BEGIN
  it :=ein_int(e1);
  da := (_x2-_x1) / breite;
  db := (_y2-_y1) / hoehe;
  radius := 9;
  QueryPerformanceCounter(Time1);
  b := _y2;
  FOR ys:=0 TO hoehe-1 DO BEGIN
    rowrgb:=tempbitmap.scanline[ys];
    b := b - db;
    a := _x1;
    FOR xs:=0 TO breite-1 DO BEGIN
      a := a + da;
      xf:=a;
      yf:=b;
    ASM
         FLD     radius
         FLD     xf
         FLD     yf
         FLD     st
         FMUL    st,st
         FLD     st(2)
         FMUL    st,st
         FLD     st(2)
         FLD     st(4)
         XOR     cx,cx
@itloop: INC     cx
         CMP     cx,it
         JE      @noloop
         FMUL
         FADD    st,st
         FADD    st,st(3)
         FLD     st(1)
         FSUB    st,st(3)
         FADD    st,st(5)
         FST     st(3)
         FMUL    st,st
         FSTP    st(2)
         FLD     st
         FMUL    st,st
         FADD    st,st(2)
         FCOM    st(6)
         FSTSW   ax
         FSUB    st,st(2)
         FXCH    st(3)
         AND     ah,1
         JNZ     @itloop
@noloop: MOV     i, cx
         FINIT
      END;
      if i>=it then begin
        if farbverlauf then i:=(round(100.0*modus*(sqr(a)+sqr(b)))) mod 256
                       else i:=0
      end
      else i:=(modus*i) mod 256;
      farbfeld[xs,ys]:=i;
      rowrgb[3*xs]:=pal[i].b;
      rowrgb[3*xs+1]:=pal[i].g;
      rowrgb[3*xs+2]:=pal[i].r;
    END;
    QueryPerformanceCounter(Time2);
    if time2-time1>abbruchtime then begin
      application.processmessages;
      if abbruch then exit;
      PB1.canvas.draw(0,0,tempbitmap);
      time1:=time2;
    end;
  END;
  PB1.canvas.draw(0,0,tempbitmap);
END;